ความเท่ากันทุกประการ

 

การสะท้อน การเลื่อนขนาน และการหมุน เป็นตัวอย่างของการเคลื่อนที่ รูปเรขาคณิตซึ่งเป็นการแปลงตำแหน่งของรูปเรขาคณิตบนระนาบโดยที่ระยะระหว่างจุดสองจุดใด ๆของรูปนั้นไม่เปลี่ยนแปลง  หมายความถึงว่า รูปร่างและขนาดของรูปเรขาคณิตที่เคลื่อนที่นั้นไม่เปลี่ยนแปลง

ในทางคณิตศาสตร์เมื่อสามารถเคลื่อนที่รูปเรขาคณิตรูปหนึ่งไปทับรูปเรขาคณิตอีกรูปหนึ่งได้สนิท จะกล่าวว่ารูปเรขาคณิตสองรูปนั้น เท่ากันทุกประการ ซึ่งเป็นไปตามบทนิยามของความเท่ากันทุกประการของรูปเรขาคณิตบนระนาบ

บทนิยาม      รูปเรขาคณิตสองรูป เท่ากันทุกประการ ก็ต่อเมื่อ เคลื่อนที่รูปหนึ่งไปทับอีกรูปหนึ่งได้สนิท

เมื่อรูปเรขาคณิต A และรูปเรขาคณิตB เท่ากันทุกประการ

จะเขียนว่ารูป A ≅ รูป B  อ่านว่า รูป A เท่ากันทุกประการกับรูป B หรือรูป A และ รูป B เท่ากันทุกประการ

สัญลักษณ์ ≅ แทนคำว่า เท่ากันทุกประการกับ

สัญลักษณ์ ≅ มาจากสัญลักษณ์ ~ ซึ่งแสดงถึง การมีรูปร่างเหมือนกัน

สัญลักษณ์ = ซึ่งแสดงถึง การมีขนาดเท่ากัน

สร้างเส้นตรงสองเส้น AB และ CD

A                                   B                  C                            D

ถ้าส่วนของเส้นตรงสองเส้นยาวเท่ากันแล้วส่วนของเส้นตรงทั้งสองเส้นนั้นเท่ากันทุกประการ

ถ้า AB ≅ AB แล้ว AB = CD และ  ถ้าAB = CD แล้วAB ≅ AB

 

ความเท่ากันทุกประการของมุม

หลักการ

มุมสองมุมเท่ากันทุกประการ ก็ต่อเมื่อ มุมทั้งสองมุมนั้นมีขนาดเท่ากัน

 

รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ ด้าน-มุม-ด้าน

หลักการ

ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความสัมพันธ์กันแบบ     ด้าน-มุม-ด้าน (ด.ม.ด.) กล่าวคือ มีด้านยาวเท่ากันสองคู่ และมุมในระหว่างด้านคู่ที่ยาวเท่ากันมีขนาดเท่ากัน แล้วรูปสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ

 
 
 ตัวอย่าง  
วิธีทำ
ดังนั้น   (ด.ม.ด.)
 
 

รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ มุม-ด้าน-มุม

หลักการ

ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความสัมพันธ์กันแบบ       มุม-ด้าน-มุม (ม.ด.ม.) กล่าวคือ มีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่ และด้านที่เป็นแขนร่วมยาวเท่ากัน แล้วรูปสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ

ตัวอย่าง

 

 
วิธีทำ
 

ดังนั้น   (ม.ด.ม.)

 

 

รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ ด้าน-ด้าน-ด้าน

หลักการ

ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความสัมพันธ์กันแบบ       ด้าน-ด้าน-ด้าน (ด.ด.ด.) กล่าวคือ มีด้านยาวเท่ากันเป็นคู่ ๆ สามคู่ แล้วรูปสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ

ตัวอย่าง

 

วิธีทำ

 

 

ดังนั้น   (ด.ด.ด.)

 

สมบัติของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วและสามารถนำไปใช้อ้างอิงได้ดังนี้

1.  เส้นแบ่งครึ่งมุมออกเป็นรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เท่ากันทุกประการ

2. มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยม   หน้าจั่วมีขนาดเท่ากัน

3. เส้นแบ่งครึ่งมุมยอดของสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะแบ่งครึ่งฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

4.  เส้นแบ่งครึ่งมุมยอดของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จะตั้งฉากกับฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

5. เส้นที่ลากจากมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมาแบ่งครึ่งฐานจะแบ่งครึ่งมุมยอดของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

6. เส้นที่ลากจากมุมยอดของ         รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมาแบ่งครึ่งฐาน จะตั้งฉากกับฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว


แบบฝึกหัดก่อนเรียน : ความเท่ากันทุกประการ
แบบฝึกหัดหลังเรียน : ความเท่ากันทุกประการ
เอกสารที่แนบ : เอกสาร เรื่อง ความเท่ากันทุกประการ