บทที่ 2 จำนวนและตัวเลข

     จำนวน(Number)เป็นการเปรียบเทียบให้ทราบว่ามากกว่า น้อยกว่า หรือเท่ากัน (เพราะการเปรียบเทียบของแต่ละบุคคลไม่เหมือนกันขึ้นอยู่กับความรู้สึก) มนุษย์จึงคิดค้นสัญลักษณ์ขึ้นมา เพื่อใช้กำกับจำนวนที่เรียกว่า ตัวเลข 

      ตัวเลข(Numerial) คือสัญลักษณ์ที่ที่มนุษย์คิดค้นขึ้นมานั้น แต่ละชาติแต่ละภาษาต่างก็คิดขึ้นมาใช้

เช่่น  สัญลักษณ์ที่ใช้แทนปริมาณ มีค่า เท่ากับ 4 แต่ตัวเลขของแต่ละชาติที่ใช้แทนสัญลักษณ์นั้นแตกต่างกัน เช่น
        ตัวเลขอารบิก     เขียนแทนด้วย 4 
        ตัวเลขไทย         เขียนแทนด้วย ๔
        ตัวเลขโรมัน        เขียนแทนด้วย IV 

        ซึ่งตัวเลขบางแบบก็เลิกใช้แล้ว บางแบบก็ยังใช้ในปัจจุบัน บางแบบก็ใช้หรือเข้าใจกันแต่เฉพาะชาติของตนเอง ในปัจจุบันระบบตัวเลขที่ถือว่าเป็นระบบตัวเลขสากลใช้กันทั่วโลก คือ "ระบบตัวเลขฮินดูอารบิก"

ระบบตัวเลขฮินดูอารบิก
        ระบบฮินดูอารบิก เป็นระบบที่ใช้ฐาน 10 มีเลขโดดที่ใช้ด้วยกันจำนวน 10 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 โดยที่ค่าของตัวเลขมีค่าขึ้นอยู่กับตำแหน่ง 
        เช่น ตัวเลข 653 คือ
                3 อยู่ในตำแหน่งที่ 1     มีค่า 3 
                5 อยู่มนตำแหน่งที่ 2     มีค่าเท่ากับ 50 
                6 อยู่ในตำแหน่งที่ 3      มีค่าเท่ากับ 600 

ระบบเลขฐานสิบ
ในการเขียนตัวเลขในระบบตัวเลขฐานสิบ เช่น 5,678 ความ
หมายดังนี้
    5,678 = (5x1,0000 + (6x100) + (7x10) + (8x1) เรากล่าวว่า
            8 อยู่ในตำแหน่งที่ 1 เรียกว่า หลักหน่วย หรือ แปด
            7 อยู่ในตำแหน่งที่ 2 เรียกว่า หลักสิบ หรือ เจ็ดสิบ
            6 อยู่ในตำแหน่งที่ 3 เรียกว่า หลักร้อย หรือ หกร้อย
            5 อยู่ในตำแหน่งที่ 4 เรียกว่า หลักพัน หรือ ห้าพัน

 
    ดังนั้น 5,678 อ่านเป็น ห้าพันหกร้อยเจ็ดสิบแปด

        ตำแหน่งที่ 1 หลักหน่วย มีค่าประจำตำแหน่งเป็น 1 
        ตำแหน่งที่ 2 หลักสิบ มีค่าประจำตำแหน่งเป็น 10 
        ตำแหน่งที่ 3 หลักร้อย มีค่าประจำตำแหน่งเป็น 10x10 หรือ 10
        ตำแหน่งที่ 4 หลักพัน มีค่าประจำตำแหน่งเป็น 10x10x10 หรือ 103 
        ตำแหน่งที่ 5 หลักหมื่น มีค่าประจำตำแหน่งเป็น 10x10x10x10 หรือ 10
        ตำแหน่งที่ 6 หลักแสน มีค่าประจำตำแหน่งเป็น 10x10x10x10x10 หรือ 105 
        ตำแหน่งที่ 7 หลักล้าน มีค่าประจำตำแหน่งเป็น 10x10x10x10x10x10 หรือ 106
 
ตัวเลขโรมัน
        ตัวเลขโรมัน เป็นระบบตัวเลขที่ใช้ในโรมโบราณ เลขโรมันถือเป็น ระบบเลขไม่มีหลัก หมายความว่า ไม่ว่าจะเขียนตัวเลขแต่ละตัวไว้ ณ ตำแหน่งใดของค่าตัวเลขนั้นจะมีค่าคงที่เสมอ ระบบเลขโรมันมีสัญลักษณ์ที่ใช้กัน  ดังนี้  
    I หรือ i มีค่าเท่ากับ 1
    V หรือ v มีค่าเท่ากับ 5
    X หรือ x มีค่าเท่ากับ 10
    L หรือ l มีค่าเท่ากับ 50
    C หรือ c มีค่าเท่ากับ 100
    D หรือ d มีค่าเท่ากับ 500
    M หรือ m มีค่าเท่ากับ 1,000
 
การเขียนเลขโรมัน
        การเขียนเลขโรมัน สามารถเขียนแทนเฉพาะจำนวนเต็มบวกเท่านั้น เนื่องจากในสมัยก่อนโรมยังไม่มีสัญลักษณ์แทนเลขศูนย์หรือเลขทศนิยม โดยให้เขียนจากสัญลักษณ์ที่มีค่ามากแล้วลดหลั่นกันไปยังสัญลักษณ์ที่มีค่าน้อย เช่น

 
        MCCCXXV     มีค่าเท่ากับ     1,000 + 300 + 20 + 5 = 1,325
        MMMDLXVII     มีค่าเท่ากับ     3,000 + 500 + 60 + 7 = 3,567

        ถ้าเขียนสัญลักษณ์ที่มีค่าน้อยกว่าไว้ด้านหน้าสัญลักษณ์ที่มีค่ามากกว่า ค่าของจำนวนที่ได้จะมีค่าเท่ากับจำนวนที่มีค่ามากลบด้วยจำนวนที่มีค่าน้อย และจะเขียนสัญลักษณ์เพียงคู่เดียวในแต่ละหลักเท่านั้น เช่น

 
        IX มีค่าเท่ากับ 10 − 1 = 9
        XL มีค่าเท่ากับ 50 − 10 = 40
        MCMLXXVII มีค่าเท่ากับ 1,000 + (1,000 − 100) + 70 + 7 = 1,977
        MMCDLXVIII มีค่าเท่ากับ 2,000 + (500 − 100) + 60 + 8 = 2,468

        จำนวนที่มีค่าเกินกว่าที่กำหนดไว้ตามสัญลักษณ์ดังกล่าว จะเขียน บาร์ (ขีด) ไว้บนสัญลักษณ์เหล่านี้ ซึ่งหากบาร์ถูกกำหนดไว้บนสัญลักษณ์ใด สัญลักษณ์นั้นจะแทนจำนวนซึ่งมีค่าเท่ากับสัญลักษณ์นั้นคูณด้วย 1,000 เช่น
        มีค่าเท่ากับ 5 × 1,000 = 5,000
        มีค่าเท่ากับ 10 × 1,000 = 10,000
        มีค่าเท่ากับ 50 × 1,000 = 50,000
        มีค่าเท่ากับ 100 × 1,000 = 100,000
        มีค่าเท่ากับ 500 × 1,000 = 500,000
        มีค่าเท่ากับ 1,000 × 1,000 = 1,000,000
 
หลักการเพิ่ม  คือ เขียนตัวเลขเรียงกันตามลำดับจากค่ามากไปหาค่าน้อย เช่น
           VI แทน 5 + 1 หรือ 6
          XVII แทน 10 + 5 + 1 + 1 หรือ 17
          CLXX แทน 100 + 50 + 10 + 10 หรือ 170
หลักการลด   จำนวนที่ใช้หลักการลดมี จำนวน คือ 4 , 9 , 40 , 90 , 400 , 900
           ในการเขียนตัวเลขโรมันแทนเลข 9 โดยจะใช้หลักการลด คือ เราจะไม่เขียน VIIII แต่จะใช้แทนด้วย IX ซึ่งแทน 10 – 1 กล่าวคือจะเขียนตัวเลขที่มีค่าน้อยไว้ข้างหน้าตัวเลขที่มีค่ามากกว่า แล้วนำตัวเลขทั้งสองมาลบกัน การเขียนตัวเลขโรมันโดยใช้หลักการลด มีเงื่อนไขตามหลักเกณฑ์ต่อไปนี้
1. ตัวเลขที่ใช้เป็นตัวลบได้แก่ I , X , C เท่านั้น
2. ตัวเลขที่อยู่ข้างหน้าของ X หรือ V ได้แก่ I เพียงตัวเดียว เช่น IV แทน 4 , IX แทน 9
3. ตัวเลขที่อยู่ข้างหน้าของ L หรือ C ได้แก่ X เพียงตัวเดียว เช่น XL แทน 40 , XC แทน 90
4. ตัวเลขที่อยู่ข้างหน้าของ D หรือ M ได้แก่ C เพียงตัวเดียว เช่น CD แทน 400 , CM แทน 900
ให้สังเกตว่าตัวลบ I , X หรือ C จะต้องใช้คู่กับตัวเลขเฉพาะของแต่ละกลุ่มตามหลักเกณฑ์ข้างบนนี้เท่านั้น เช่น 499 ให้เขียนเป็น 400 + 90 + 9 = CD + XC + IX แทน CDXCIX
ซึ่ง 499 ไม่เขียนแทนด้วย ID
950 ให้เขียนเป็น 900 + 50 = CM + L แทน CML
ซึ่ง 950 ไม่เขียนแทนด้วย LM
        ในระบบตัวเลขโรมันมีสัญลักษณ์แทนจำนวนที่มีค่ามากๆ ซึ่งเราจะใช้สัญลักษณ์ “ – ” บนสัญลักษณ์พื้นฐานเพียง 6 ตัว โดยแต่ละตัวจะมีค่า 1,000 เท่าของตัวเดิม ดังนี้
ตัวอย่าง    จงเขียนเลนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปเลขโรมัน
105
620
3,560
วิธีทำ                      105          =             100+5
                                                =             CV
                                620          =             600+20
                                                =             DCXX                                                 
                                3,560       =             MMMDLX
ตัวอย่าง    จงเขียนเลขโรในต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปเลขอารบิค
1)            XL
2)            CMXX
3)            MMCCL
วิธีทำ                      XL            =             50+1
                                                 =             40
                                CMXX     =             1000-100+10+10
                                                 =             920
                                MMCCL  =             1000+1000+100+100+50
                                                 =             2,250
 
 
 
 
 
 
 
 
 

แบบฝึกหัดก่อนเรียน : แบบทดสอบก่อนเรียน เรื่อง เลขโรมัน
แบบฝึกหัดหลังเรียน : แบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง เลขโรมัน
เอกสารที่แนบ : เอกสาร เรื่อง บทที่ 2 จำนวนและตัวเลข (เลขโรมัน)