การเคลื่อนที่แบบวงกลม

การเคลื่อนที่แบบวงกลม

                                  
  

              การเคลื่อนที่ที่มีแนวการเคลื่อนที่เป็นวงกลมหรือส่วนของวงกลม เรียกการเคลื่อที่แบบนี้ว่า การเคลื่อนที่แบบวงกลม ( cirucular motion ) เช่น การเข้าโค้งของรถ การโคจรรอบโลกของดาวเทียม

             การเคลื่อนที่แบบวงกลมที่มีอัตราเร็วคงตัว เรียกว่า การเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอ (uniform circular motion) นั่นคือ การเคลื่อนที่ที่มีขนาดของความเร็วเท่าเดิม สม่ำเสมอ แต่ทิศทางเปลี่ยนไปทีละน้อย

             แรงกระทำต่อวัตถุซึ่งเคลื่อที่ในแนวงกลม และมีทิศทางเข้าสู่ศูนย์กลางของแนววงกลมเรียกว่า แรงสู่ศูนย์กลาง ( centripetal force )

การเคลื่อที่แบบวงกลมจะมีลักษณะเฉพาะคือเป็นการเคลื่อนที่แบบเลื่อนตำแหน่งที่มีแนวการเคลื่อนที่เป็นรูปวงกลม ช่วงเวลาที่วัตถุใช้ในการเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ เรียกว่า คาบ ( preiod ) ใช้สัญลักษณ์ มีหน่วยเป็น วินาที

             จำนวนรอบที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ใน 1 หน่วยเงลา เรียกว่า ความถี่ ( frequency ) ใช้สัญลักษณ์ มีหน่วยคือ รอบต่อวินาที หรือ เฮิรตซ์

ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่เมื่อครบ 1 รอบ คือความยางชองเส้นรอบวง ดังนั้นการหาอัตราเร็วจึงหาได้จาก

ความสัมพันธ์ระหว่าง v, T, f

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง (a)
   
    วัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลมจะเกิดความเร่ง 2 แนว คือ ความเร็วแนวเส้นสัมผัสวงกลม และความเร่งแนวรัศมีหรือความเร่งสู่ศูนย์กลาง
                    ถ้าวัตถุเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วคงที่ เช่น วงกลมในแนวระนาบ
จะเกิดความเร่งสู่ศูนย์กลางเพียงแนวเดียว

           การที่วัตถุมีอัตราเร็วเท่าเดิม แต่ทิศทางเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา ย่อมหมายความว่า ต้องมีความเร็วอื่นมาเกี่ยวข้องด้วย ความเร็วที่มาเกี่ยวข้องนี้จะพิสูจน์ได้ว่า มีทิศทางเข้าสู่จุดศูนย์กลางของการเคลื่อนที่ และความเร็วนี้เมื่อเทียบกับเวลาจะเป็นความเร่งซึ่งมีค่า

การหาแรงที่ทำให้วัตถุเคลื่อนที่แบบวงกลม

จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตัน และการเคลื่อนที่แบบวงกลม แรงลัพธ์ที่มากระทำต่อวัตถุกับความเร่งของวัตถุจะมีทิศทางเดียวกัน คือทิศพุ่งเข้าหาจุดศูนย์กลาง ซึ่งเขียนเป็นสมการได้ว่า

อัตราเร็วเชิงมุม (Angular speed)

              อัตราเร็วของวัตถุที่เคลื่อนที่แบบวงกลมที่กล่าวมาแล้วนั้นคือความยาวของเส้นโค้งที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในเวลา 1 วินาที ซึ่งเราอาจเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า อัตราเร็วเชิงเส้น (v)

           แต่ในที่นี้ยังมีอัตราเร็วอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งเป็นการบอกอัตราการเปลี่ยนแปลงของมุมที่จุดศูนย์กลาง เนื่องจากการกวาดไปของรัศมี ใน 1 วินาที เรียกว่า อัตราเร็วเชิงมุม (w) อ่านว่า โอเมก้า
นิยามอัตราเชิงมุม (w) คือ มุมที่รัศมีกวาดไปได้ใน 1 วินาทีมีหน่วยเป็น เรเดียน/วินาที

            การบอกมุมนอกจากจะมีหน่วยเป็นองศาแล้ว ยังอาจใช้หน่วยเป็นเรเดียน (radian) โดยมีนิยามว่า มุม 1 เรเดียน มีค่าเท่ากับมุมที่จุดศุนย์กลางของวงกลม ซึ่งมีเส้นโค้งรองรับมุมยาวเท่ากับรัศมี หรือกล่าวได้ว่ามุมในหน่วยเรเดียน คือ อัตราส่วนระหว่างส่วนเส้นโค้งที่รองรับมุมกับรัศมีของวงกลม

           ถ้า a คือ ความยาวองส่วนโค้งที่รองรับมุม
           r   คือ รัศมีของส่วนโค้ง
          q  คือ มุมที่จุดศูนย์กลางเป็นเรเดียน

           ความสัมพันธ์ระหว่างมุมในหน่วยองศากับเรเดียน

             เมื่อพิจารณาวงกลม พบว่ามุมรอบจุดศูนย์กลางของวงกลมเท่ากับ 360 องศา โดยส่วนโค้งที่รองรับมุมก็คือเส้นรอบวงนั้นเอง

            ดังนั้น สรุปได้ว่า มุม 360 องศา เทียบเท่ากับมุม 2p เรเดียน

 

 

เมื่อพิจารณาวัตถุเคลื่อนที่แบบวงกลมด้วยอัตราเร็วคงที่ครบ 1 รอบพอดี

ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ระหว่างอัตราเร็วเชิงเส้น (v) และอัตราเร็วเชิงมุม (w)

 

การเคลื่อนที่ในแนวราบ

        ตัวอย่างการเกิดการเคลื่อนที่เป็นวงกลมในแนวราบ

 เชือกเบายาว L ปลายข้างหนึ่งติดวัตถุมวล m อีกปลายตรึงแน่นแกว่งให้วัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมในแนวราบ รัศมี r ด้วยอัตราเร็วคงที่ v และเชื่อกทำมุม q กับแนวระดับดังรูป

ขณะมวล m เคลื่อนที่เป็นวงกลมในแนวราบ ได้รับแรงกระทำ 2 แรงคือ แรงตึงเชือกและน้ำหนังของวัตถุ

เมื่อแตกแรงต่าง ๆ แล้วจะได้

       พิจารณาลูกกลมโลหะ ซึ่งเคลื่อนที่ตามรางเรียบรูปวงกลมในแนวดิ่ง   โดยเคลื่อนที่รอบด้านในของวงกลม เส้นทางการเคลื่อนที่ของลูกกลมโลหะจะเป็นแนววงกลมในระนาบดิ่ง ทุก ๆ ตำแหน่งที่ลูกกลมโหละจะต้องมีแรงสู่ศูนย์กลาง เพื่อเปลี่ยนทิศทางความเร็วของลูกกลมโลหะให้เคลื่อนที่เป็นวงกลม แรงสู่ศูนย์กลางนี้เกิดจากรางออกแรงดันลูกกลมโลหะ ซึ่งเป็นแรงปฏิกิริยาของรางที่โต้ตอบกับแรงที่ลูกกลมโลหะ ออกแรงดันราง และแรงสู่ศูนย์กลางบางช่วงจะมาจากแรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อลูกกลมโลห

 

     ในกรณีลูกกลมโลหะมวล m อยู่ ณ ตำแหน่งล่างสุดของรางที่มีรัศมีความโค้ง r  ให้แรงที่รางดันลูกกลมโลหะในแนวตั้งฉากกับผิวของรางเท่ากับ F และแรงที่โลกดึงดูดลูกกลม คือ mg แรงลัพธ์ของแรงทั้งสองคือ แรงสู่ศูนย์กลาง

ถ้าลูกกลมอยู่ ณ ตำแหน่งสูงสุด จะได้

การเคลื่อนที่บนทางโค้ง

         ขณะรถเลี้ยวโค้ง บนถนนโค้งราบ ซึ่งมีแนวทางการเคลื่อนที่ เป็นส่วนโค้งของวงกลมดังรูป ดังนั้นต้องมีแรงสู่ศูนย์กลางกระทำต่อวัตถุ เมื่อพิจารณาแรงกระทำต่อรถในแนวระดับพบว่าขณะรถเลี้ยว พยายามไถลออกจากโค้ง จึงมีแรงเสียดทาน ที่พื้นกระทำต่อล้อรถในทิศทาง พุ่งเข้าในแนวผ่านศูนย์กลางความโค้ง

ดังนั้น แรงเสียดทาน = แรงสู่ศูนย์กลาง

ถ้ารถเลี้ยวด้วยอัตราเร็วสูงสุดได้ปลอดภัย

การหามุมเอียงของรถจักรยานยนต์ขณะเลี้ยว

              ขณะเลี้ยวรถแรงกระทำต่อรถมี mg, N และ f ซึ่งแรง N และ f รวมกันได้ เป็นแรงลัพธ์ R C.M. จะก่อให้เกิดโมเมนต์ ทำให้รถคว่ำขณะเลี้ยวดังรูป ถ้าไม่ต้องการให้รถคว่ำต้องเอียงรถ ให้จุดศูนย์กลางของมวล ผ่านแนวแรง R ขณะเลี้ยว รถจึงเลี้ยวได้โดยปลอดภัยไม่พลิกคว่ำดังรูป

รูปแสดงแรงกระทำต่อรถจักรยานยนต์ขณะเลี้ยวบนถนนโค้งราบ

              ถ้าเลี้ยวรถรถด้วยอัตราเร็วสูงสุด พบว่า

ไม่ว่ารถจักรยานยนต์เลี้ยวโค้งแล้วเอียงรถ หรือ รถจักรยานยนต ์เลี้ยวโค้งบนพื้นเอียงลื่น มุม q ที่เกิดจากการเอียงของทั้งสองกรณีคือมุมเดียวกัน ใช้สูตรเดียวกันคือ

แหล่งที่มา

http://student.nu.ac.th/phyedu12/topic3.html

http://wiki.stjohn.ac.th/groups/poly_ordinarycourse/wiki/10d68/index.html


แบบฝึกหัดก่อนเรียน : 
แบบฝึกหัดหลังเรียน :