เลขยกกำลัง

ความหมายของเลขยกกำลังหรือการยกกำลัง

                การยกกำลัง   (อังกฤษ:Exponentiation)   คือ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่งเขียนอยู่ในรูป   ซึ่งประกอบด้วยสองจำนวน  คือ  ฐาน  และ  เลขชี้กำลัง  โดยพื้นฐานแล้วการยกกำลังจะมีความหมายเหมือนกับการคูณ ซ้ำๆเป็นจำนวน ตัว  เมื่อ n  เป็นจำนวนเต็มบวก

                      

                โดยปกติเลขชี้กำลังจะแสดงให้เห็นเป็นตัวยกทางขวาของฐาน จำนวน อ่านว่า ยกกำลัง  หรือ  เพียงแค่  กำลัง ในภาษาอังกฤษอาจเรียกการยกกำลังบางตัวต่างออกไป  เช่น  จะเรียกว่า  square และ    เรียกว่า cube เป็นต้น
                 เลขยกกำลัง    อาจสามารถนิยามให้  เป็นจำนวนเต็มลบก็ได้เพราะการยกกำลังได้นิยามสำหรับ   เลขชี้กำลัง   ที่เป็นจำนวนจริงหรือแม้แต่จำนวนเชิงซ้อนไว้แล้ว  สำหรับ ที่เป็นจำนวนจริงบวก      ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ก็เป็นตัวอย่างหนึ่งของนิยามดังกล่าวซึ่งทำให้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ การยกกำลังได้ อย่างไรก็ตามเมื่อฐาน a ไม่เป็นจำนวนจริงบวก และเลขชี้กำลัง nก็ไม่ใช่จำนวนเต็มจำนวน  จะ
ไม่สามารถ หาค่าได้ด้วยฟังก์ชันต่อเนื่องของ a 

                         

ตัวอย่าง
            สัญลักษณ์          อ่านว่า  "ห้ายกกำลังสี่"  หรือ  "ห้ากำลังสี่"  หรือ "กำลังสี่ของห้า"
                                       แทน 
                                       มี  5 เป็นฐาน และ  มี 4 เป็นเลขชี้กำลัง
           ในทำนองเดียวกัน
            สัญลักษณ์          อ่านว่า "ลบสามทั้งหมดยกกำลังห้า" หรือ "กำลังห้าของลบสาม"
                                       แทน  
                                       มี  -3   เป็นฐาน และ มี   5  เป็นเลขชี้กำลัง
            เมื่อมีจำนวนที่คูณตัวเองซ้ำกันหลายๆ ตัว      เราอาจใช้เลขยกกำลังเขียนแทนจำนวน
เหล่านั้นได้  เช่น
   
                               เขียนแทนด้วย 
                              เขียนแทนด้วย 
                               เขียนแทนด้วย 
                               เขียนแทนด้วย 
             ให้สังเกตว่าการเขียนเลขยกกำลังแทนจำนวน เช่น  และ มีความหมายต่างกัน ซึ่งนิยมถือเป็นข้อตกลงดังต่อไปนี้
                                   หมายถึง 
                                         อ่านว่า     ลบสองทั้งหมดยกกำลังสี่  หรือกำลังสี่ของลบสอง

                                         และ      
                                   หมายถึง 
                                         อ่านว่า      ลบสองทั้งหมดยกกำลังสี่  หรือกำลังสี่ของลบสอง
                                         และ      

                จากที่กล่าวมาจึงเห็นได้ว่า แต่ในบางจำนวน  เช่น    และ
ถึงแม้ว่าความหมายต่างกันแต่มีผลลัพธ์เป็นจำนวนเดียวกันคือ ดังนั้นเพื่อความชัดเจนและสื่อความหมายให้ตรงกัน  จึงควรเขียนสัญลักษณ์ัที่แทนจำนวนนั้นให้ถูกต้องตามที่ต้องการ
                 เมื่อต้องการทราบว่าเลขยกกำลังนั้นแทนจำนวนใดก็ให้เขียนเลขขยกกำลังนั้นแทนจำนวนใดก็ให้เขียนเลขยกกำลังนั้นให้อยู่ในรูปของการคูณของจำนวนที่เป็นฐาน  แล้วหาผลคูณดังตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 1    จงหาว่า แทนจำนวนใด
วิธีทำ                          = 
                                        =
                      ตอบ  

ตัวอย่างที่ 2    จงหาว่า แทนจำนวนใด
วิธีทำ                         =     
                                       =
                      ตอบ  

ตัวอย่างที่ 3    จงหาว่า แทนจำนวนใด
วิธีทำ                         =                      
                                       =
                      ตอบ  

ตัวอย่างที่ 4    จงหาว่า แทนจำนวนใด
วิธีทำ                         = 
                                       =
                      ตอบ  

การเขียนจำนวนที่กำหนดให้อยู่ในรูปเลขยกกำลัง

                เมื่อต้องการเขียนจำนวนให้อยู่ในรูปเลขยกกำลัง  ทำได้โดยใช้การแยกตัวประกอบหรือเขียนจำนวนนั้นให้อยู่ในรูปการคูณของจำนวนที่ซ้ำๆ กัน
ตัวอย่างที่  1     จงเขียน 16  ให้อยู่ในรูปเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังมากกว่า 1
วิธีทำ                                    
                                  
                        ตอบ
                        หรือ  
                                             =
                        ตอบ     
                   นอกจากสองคำตอบข้างต้นนี้แล้ว  เราอาจเขียน 16 ในรูปเลขยกกำลังที่มีฐาน
เป็นจำนวนลบได้อีกสองคำตอบได้แก่    และ
ตัวอย่างที่ 2      จงเขียน 216  ให้อยู่ในรูปเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังมากกว่า 1
วิธีทำ                                        
                                      
                                      
                                              =
                        ตอบ 

ตัวอย่างที่ 3                         


    
     ถังสังกะสีทรงลูกบาศก์ใบหนึ่งมีปริมาตรภายใน 729
     ลูกบาศก์เซนติเมตร ความยาวของแต่ละด้านภายใน
     ถังเป็นกี่เซนติเมตร

วิธีทำ               เนื่องจากปริมาตรของถังทรงลูกบาศก์ (เท่ากับความยาวของด้าน)
                       ถังทรงลูกบาศก์มีปริมาตรภายใน 729 ลูกบาศก์เซนติเมตร
                       เนื่องจาก 
                                      
                       ดังนั้น  ภายในถังยาวด้านละ   9   เซนติเมตร

                       ตอบ    9   เซนติเมตร

การใช้ความหมายของเลขยกกำลังแก้โจทย์ปัญหา

                ในบางครั้งเรามีความจำเป็นต้องเขียนเลขยกกำลังแทนจำนวนที่มีค่ามากๆ เพื่อให้สะดวกต่อการนำไปใช้ ดังตัวอย่าง
                รัฐบาลไทยจัดจำหน่ายพันธบัตรออมทรัพย์ไทยเข้มแข็งในปีงบประมาณ 2552 อายุ 5 ปีมีวงเงินรวม 50,000,000,000 บาท  ในทางปฏิบัตินิยมใช้หน่ิวย ล้านบาท แทนหน่วย บาท ในทางคณิตศาสตร์เขียนแทนงบประมาณดังกล่าวด้วย  และเขียน 50,000  ล้านบาท  อ่านว่า  ห้าหมื่นล้านบาท

     เมื่อกล่าวถึงจำนวนดวงดาวในท้องฟ้าซึ่งมีอยู่มากมาย  นักดาราศาสตร์ใช้เลขยกกำลังแสดงจำนวนดวงดาว   เช่น  ประมาณว่า มีดาวฤกษ์อยู่ในเอกภพทั้งหมด   ดวง
       หมายถึง จำนวนที่เขียนแทนด้วย 1 และตามด้วย
 0  อีก  57ตัว
      ถ้าไม่ใช้เลขยกกำลังแทนจำนวนนี้เราจะต้องใช้พื้นที่
มากในการเขียนตัวเลขแทนจำนวนนี้


ตัวอย่างที่ 1       ถ้า m แทนจำนวนเต็มบวก และ = 729 แล้ว   m   แทนจำนวนใด
วิธีทำ                                =     729
                                        =    3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
                                        =   

ตอบ                               m     =   6  

ตัวอย่างที่ 2       ปี  2533  ประเทศไทย  มีพลเมือง 56 ล้านคน  ปี 2536  ประชาชนเพิ่มขึ้น

                        เป็น 58 ล้านคน ในรอบ 3 ปี  มีพลเมืองเพิ่มขึ้นวันละประมาณกี่คน
วิธีทำ                ปี  2533  ประเทศไทย  มีพลเมือง       56,000,000  คน
                        ปี  2536  ประเทศไทย  มีพลเมือง       58,000,000  คน
                        ช่วง  3 ปี           มีพลเมืองเพิ่มขึ้น       2,000,000   คน
                        ช่วง  1 วัน  มีพลเมืองเพิ่มขึ้น      
                                                                     =  
                                                                     =   1826.48
                        ดังนั้นโดยเฉลี่ยจะมีพลเมืองเพิ่มขึ้นประมาณวันละ  1,826  คน
                        ตอบ  ประมาณวันละ  1,826  คน

การดำเนินการของเลขยกกำลัง

การคูณเลขยกกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก

                การคูณเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนเดียวและมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวกเป็นไปตาม   สมบัติการคูณเลขยกกำลัง  ดังนี้


 

ตัวอย่างที่ 1      จงเขียนผลคูณ     ในรูปเลขยกกำลัง
วิธีทำ                                    
                                                        = 
                        ตอบ  

ตัวอย่างที่ 2      จงเขียนผลคูณ     ในรูปเลขยกกำลัง
วิธีทำ                                    
                                                        = 
                                                        = 
                        ตอบ  

ตัวอย่างที่ 3      จงเขียนผลคูณ     ในรูปเลขยกกำลัง

วิธีทำ                เนื่องจาก         16
                        และ                 =  16
                       ดังนั้น              
                       จะได้                = 
                                                        = 
                                                        = 
                        ตอบ  

ตัวอย่างที่ 4      จงเขียนผลคูณ     ในรูปเลขยกกำลัง
วิธีทำ                            
                                                        = 
                                                        = 
                        เนื่องจาก           -(-2)  =   2
                        และ                 =
                        ดังนั้น 
                                                        =  
                                                        =  
                        ตอบ  

ตัวอย่างที่ 5      โลกหนักประมาณ     ดวงอาทิตย์หนักเป็น เท่าของโลก 

                        จงหาน้ำหนักของดวงอาทิตย์ (ที่มา : http://202.143.159.117/learnsquare/
                               courses/1/Unit04_part01_num02_05.htm
)
วิธีทำ                โลกหนักประมาณ
                        ดวงอาทิตย์หนักเป็น เท่าของโลก 
                        ดังนั้นดวงอาทิตย์หนักประมาณ () x ( ) กิโลกรัม
                                                            =          กิโลกรัม
                                                            =              กิโลกรัม
                                                            =              กิโลกรัม
                                                            =              กิโลกรัม
                        ตอบ      ประมาณ   กิโลกรัม

การหารเลขยกกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก

                การหารเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนเดียว    และ  ฐานไม่เท่ากับศูนย์ มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก    ในรูปของ         จะพิจารณาเป็น   3  กรณี   คือ  เมื่อ m > n , m = n , และ  m < n   ดังนี้

กรณีที่ 1           เมื่อ  a  แทนจำนวนใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์  m , n  แทนจำนวนเต็มบวก
                     และ  m > n

                     พิจารณาการหารเลขยกกำลัง  ต่อไปนี้

          1)      
                                     
                                        =   
                                        =  

          2)       
                                     
                                      
                                        =  

                      จากการหารเลขยกกำลังข้างต้นจะเห็นได้ว่า  ผลหารเป็นเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนเดิมและเลขชี้กำลังเท่ากับเลขชี้กำลังของตัวตั้งลบด้วยเลขชี้กำลังของตัวหาร  ซึ่งเป็นไปตาม สมบัติของการหารเลขยกกำลัง  ดังนี้

ตัวอย่างที่ 1      จงหาผลลัพธ์     ในรูปเลขยกกำลัง
วิธีทำ                                    
                                                        =    
                                                        =    
                        ตอบ   

ตัวอย่างที่ 2     จงหาผลลัพธ    ในรูปเลขยกกำลัง
วิธีทำ               เนื่องจาก           25     = 
                       จะได้                   = x  
                                                       = 
                                             = 
                                                       =
                                                       = 
                                                       = 
                                                       =  5
                        ตอบ    5

กรณีที่ 2            เมื่อ  a  แทนจำนวนใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์  m , n   แทนจำนวนเต็มบวกและ  m =  n


                     พิจารณา  
                     ถ้าใช้บทนิยามของเลขยกกำลังจะได้  
                                                                               
                                                                                  =  1
                    ถ้าลองใช้สมบัติของการหารเลขยกกำลัง  และ  a 0  

ในกรณีที่  m = n  
                    จะได้       

                                              =   

                      แต่จากการใช้บทนิยามของเลขยกกำลังดังที่แสดงไว้ข้างต้น  เราได้ว่า = 1   ดังนั้นเพืื่อให้สมบัติของการหารเลขยกกำลัง        ใช้ได้ในกรณีที่  m = n   ด้วย จึงต้องให้    = 1
                     ในกรณีทั่วๆไปมีบทนิยาม  ดังนี้

ตัวอย่างที่ 1      จงหาผลลัพธ์    
วิธีทำ                                    
                                                            = 
                                                            =    
                                                            =  
                                                            =  
                                                            =   1
                        ตอบ   1 

กรณีที่ 3           เมื่อ  a  แทนจำนวนใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์  m , n   แทนจำนวนเต็มบวก

                     และ  m <  n

                     พิจารณา  
                     ถ้าใช้บทนิยามของเลขยกกำลังจะได้  
                                                                                                  
                                                                                                     = 
                    ถ้าลองใช้สมบัติของการหารเลขยกกำลัง  และ  a 0
ในกรณีที่  m  <  n  
                    จะได้       

                                                       =   

                      แต่จากการใช้บทนิยามของเลขยกกำลังดังที่แสดงไว้ข้างต้น       เราได้ว่า =    ดังนั้นเพืื่อให้สมบัติของการหารเลขยกกำลัง      ใช้ได้ในกรณีที่  m < n   ด้วย จึงต้องให้   =

                     ในกรณีทั่วๆไปมีบทนิยาม  ดังนี้

ตัวอย่างที่ 1      จงหาผลลัพธ์    
วิธีทำ                                      
                                                            = 
                                                            = 
                                                            =       
                                                            =        หรือ 
                        ตอบ    หรือ 

เลขยกกำลังกับการนำไปใช้

สัญกรณ์วิทยาศาสตร์

                ในหนังสือเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์หรือดาราศาสตร์     จะพบการใช้เลขยกกำลังแสดงจำนวนที่มีค่ามากๆหรือจำนวนที่มีค่าน้อยๆ เช่น 
                -  ดวงอาทิตย์มีมวลประมาณกิโลกรัม
                -  ในสุญญากาศแสงเคลื่อนที่ได้ระยะทาง 1 กิโลเมตรในเวลาประมาณ  วินาที
                จะเห็นได้ว่าและ ข้างต้น  เป็นตัวอย่างการใช้สัญลักษณ์แทนจำนวน
อีกรูปแบบหนึ่ง     ซึ่งเขียนในรูปการคูณของเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นสิบและเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม  มีรูปทั่วไปเป็น
                     

                จำนวนที่เขียนในรูป  และ  n  เป็นจำนวนเต็ม  เรียกว่า
"สัญกรณ์วิทยาศาสตร์" (Scientific  notation)
                 เรานิยมเขียนจำนวนที่มีค่ามากๆ หรือค่าน้อยๆ ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ 

การเขียนจำนวนที่มีค่ามากๆ ให้อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์

                การใช้เลขยกกำลังและ  n  เป็นจำนวนเต็ม  เขียนแทนจำนวนที่มีค่ามากๆ เช่น
                วิธีการเขียนจำนวนที่มีค่ามากๆให้อยู่ในรูป     และ   n  เป็นจำนวนเต็ม  เช่น
               1)       50,000          =    5   x  10,000
                                                =    5   x  
               2)       2,810,000     =   281 x  10,000
                                                =   (2.81  x  100) x
                                                =   2.81 x
x
                                                =   2.81 x         
               3)      ในความเวิ้งว้างกว้างไกลของฟากฟ้ากลุ่มดาวหรือดวงดาวแต่ละดวงจะอยู่ห่างกันมาก  หน่วยวัดระยะทางที่ใช้อยู่บนโลก  เช่น  เมตร  กิโลเมตร   เป็นหน่วยเล็กเกินไปที่จะใช้วัดระยะทางในท้องฟ้า  ทางดาราศาสตร์นิยมใช้หน่วยวัดระยะทางเป็นปีแสง       โดยกำหนดว่าระยะ  1  ปีแสง  คือ  ระยะที่แสงเคลื่อนที่ไปได้ในเวลา  1  ปี  ในการหาว่า  1  ปีแสง  เป็นระยะประมาณกี่กิโลเมตร     สามารถคำนวณโดยใช้อัตราเร็วของแสงดังต่อไปนี้       อัตราเร็วของแสงประมาณ  300,000  กิโลเมตรต่อวินาที  หรือ  ประมาณ  3  x  กิโลเมตรต่อวินาที
                             1  ปี    =     356 x 24 x 60 x 60 วินาที
ดังนั้น 1 ปีแสง ประมาณ   =    (365 x 24 x 60 x 60) x (3  x  )         กิโลเมตร
                                        =     365 x 24 x 6 x 10 x 6 x 10 x 3  x    กิโลเมตร
                                        =     (365 x 24 x 6 x 6 x 3) x (  x  )   กิโลเมตร
                                       =     946,080 x           กิโลเมตร
                                       =     9.4608 x x   กิโลเมตร
                                       =     9.4608 x             กิโลเมตร
        1 ปีแสงเป็นระยะทางประมาณ  9.4608 x   กิโลเมตร

การเขียนจำนวนที่มีค่าน้อยๆ ให้อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์

                การใช้เลขยกกำลังและ  n  เป็นจำนวนเต็ม     เขียนแทนจำนวนที่มีค่าน้อยๆ เช่น 5 x
                วิธีการเขียนจำนวนที่มีค่าน้อยๆให้อยู่ในรูปเป็นจำนวนเต็ม  เช่น
               1)       0.03          =   
                                           = 
                                           =    
                                           =   3 x
               2)       0.0008      =   
                                           =  
                                           =   8 x

                                           =         
               3)      0.000063    = 

                                           = 
                                           =   6.3 x 

การคูณหรือหารจำนวนที่อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์อย่างง่าย

                สัญลักษณ์แทนจำนวนอีกรูปแบบหนึ่ง      ซึ่งเขียนอยู่ในรูปการคูณของเลขยกกำลังที่ฐานเป็นสิบและเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม       มีรูปทั่วไปเป็นและ  n  เป็นจำนวนเต็ม  เรียกว่า  การเขียนจำนวนในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ (scientific notation)  เช่น

                1)  จงหารผลคูณ ( ) x ()
                      วิธีทำ          ( ) x ()  =  36 
                                                                         =  36 
                                                                         =  3.6 x 10 
                                                                         =  3.6 
                       ตอบ       3.6 

                2)  เชื้อไวรัสที่ทำให้เกิดโรคหวัดแต่ละตัวยาวประมาณ เมตร  ถ้าไวรัส
ชนิดนี้เรียงต่อกันเป็นสายยาว  เมตร  จงหาว่ามีไวรัสอยู่ประมาณกี่ตัว
                    วิธีทำ      ไวรัสชนิดนี้เรียงต่อกันเป็นสายยาว      เมตร
                                   ถ้าไวรัสแต่ละตัวยาวประมาณ     เมตร
                                   จะมีไวรัสที่เรียงต่อกันอยู่ประมาณ        = 
                                                                                                  =            
                                                                                                  =  
                     ตอบ       ดังนั้นมีไวรัสที่เรียงต่อกันอยู่ประมาณ 12,000 ตัว 

 

 

 

 

 

 

 


แบบฝึกหัดก่อนเรียน : แบบทดสอบก่อนเรียน เรื่องเลขยกกำลัง
แบบฝึกหัดหลังเรียน : แบบทดสอบหลังเรียน เรื่องเลขยกกำลัง